Родился 29 (17) января 1864 года в Саратовской губернии в дворянской семье.
Учился на медицинском факультете Московского университета, но оставил учёбу на 4-м курсе.
Будучи студентом начал писать стихи и прозу. С 1886 года сотрудничал с "Будильником", "Русским Сатирическим Листком", "Осколками", позднее "Русской Жизнью", "Петербургской Газетой", "Новым Временем", "Россией", "Русью" и другими переодическими изданиями.Печатался в сборниках.
Единственная книга Будищева «Стихотворения» (1901) отмечена влиянием А.Фета и общими для поэзии конца XIX века мистическими настроениями.
Имя Будищева осталось в истории благодаря долговечности в исполнительском репертуаре романса "Калитка" с музыкой В.И.Буюкли (1873-1920), во всех нотных сборниках композитором указывается А.Обухов, о котором ничего не известно. Не исключено, что это псевдоним композитора.
Умер Алексей Николаевич 5 декабря (22.11) 1916 года.
Калитка (А.Обухов)
Владимир Атлантов
Галина Баранова
Галина Беседина и Сергей Тараненко
Нани Брегвадзе
Владияр
Вивея Громова
Валентина Дворянинова
Сергей Захаров
Виктория иванова
Лили Ильенко
Галина Карева
Николай Копылов
Михаил Котляр
Валентина Левко
Мовсар Минцаев
Юрий Морфесси
Мария Наровская
Евгений Нестеренко
Алексей Покровский
Валентина Пономарёва
Надежда Обухова
Алла Соленкова
Тамара Церетели